মাধ্যমিক গণিত রাশিবিজ্ঞান কষে দেখি 26.2 মধ্যমা নির্ণয়

১. মধুবাবুর দোকানের গত সপ্তাহের প্রতিদিনের বিক্রয়লব্ধ অর্থ (টাকায়) হলো— 107, 210, 92, 52, 113, 75, 195; বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

বিক্রয়লব্ধ অর্থ মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
52, 75, 92, 107, 113, 195, 210

এখানে মোট সংখ্যা, n = 7 (অযুগ্ম সংখ্যা)।

∴ বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা = (n + 1)2 তম মান = (7 + 1)2 তম মান = 4-তম মান = 107 টাকা।

উত্তর: বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা 107 টাকা।

২. কিছু পশুর বয়স (বছরে) হলো— 6, 10, 5, 4, 9, 11, 20, 18; বয়সের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

বয়স মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
4, 5, 6, 9, 10, 11, 18, 20

এখানে পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, n = 8 (যুগ্ম সংখ্যা)।

∴ মধ্যমা = 12 [82 তম মান + (82 + 1) তম মান]

= 12 [৪র্থ মান + ৫ম মান] = 12 [9 + 10] = 192 বছর = 9.5 বছর।

উত্তর: বয়সের মধ্যমা 9.5 বছর।

৩. 14 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর হলো— 42, 51, 56, 45, 62, 59, 50, 52, 55, 64, 45, 54, 58, 60; প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রাপ্ত নম্বর মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
42, 45, 45, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64

এখানে মোট সংখ্যা, n = 14 (যুগ্ম সংখ্যা)।

∴ মধ্যমা = 12 [142 তম মান + (142 + 1) তম মান]

= 12 [৭ম মান + ৮ম মান] = 12 [54 + 55] = 1092 = 54.5

উত্তর: প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 54.5।

৪. পাড়ার ক্রিকেট খেলায় স্কোরের মধ্যমা নির্ণয় করি:

7	9	10	11	11	8	7	7	10	6	9
7	9	9	6	6	8	8	9	8	7	8

সমাধান:

স্কোর মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11

এখানে মোট স্কোর সংখ্যা, n = 22 (যুগ্ম সংখ্যা)।

∴ মধ্যমা = 12 [11 তম মান + 12 তম মান] = 12 [8 + 8] = 162 = 8

উত্তর: স্কোরের মধ্যমা 8।

৫. নীচের 70 জন ছাত্রের ওজনের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে ওজনের মধ্যমা নির্ণয় করি:

ওজন (কিগ্রা)	43	44	45	46	47	48	49	50
ছাত্র সংখ্যা	4	6	8	14	12	10	11	5

পরিসংখ্যা বিভাজনের তালিকা:

ওজন (কিগ্রা)	ছাত্রসংখ্যা (পরিসংখ্যা)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক)
43	4	4
44	6	10
45	8	18
46	14	32
47	12	44
48	10	54
49	11	65
50	5	70 = n

এখানে n = 70 (যুগ্ম সংখ্যা)।

∴ মধ্যমা = 12 [35 তম মান + 36 তম মান] = 12 [47 + 47] = 47

উত্তর: ওজনের মধ্যমা 47 কিগ্রা।

৬. নলের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

ব্যাসের দৈর্ঘ্য (মিমি)	18	19	20	21	22	23	24	25
পরিসংখ্যা	3	4	10	15	25	13	6	4

পরিসংখ্যা বিভাজনের তালিকা:

ব্যাসের দৈর্ঘ্য (মিমি)	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
18	3	3
19	4	7
20	10	17
21	15	32
22	25	57
23	13	70
24	6	76
25	4	80 = n

এখানে n = 80 (যুগ্ম সংখ্যা)।

∴ মধ্যমা = 12 [40 তম মান + 41 তম মান] = 12 [22 + 22] = 22 মিমি।

উত্তর: নলের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা 22 মিমি।

৭. মধ্যমা নির্ণয় করি:

X	0	1	2	3	4	5	6
f	7	44	35	16	9	4	1

পরিসংখ্যা বিভাজনের তালিকা:

চলরাশি (X)	পরিসংখ্যা (f)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0	7	7
1	44	51
2	35	86
3	16	102
4	9	111
5	4	115
6	1	116 = n

এখানে n = 116 (যুগ্ম)।

∴ মধ্যমা = 12 [58 তম মান + 59 তম মান] = 12 [2 + 2] = 2

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা 2।

৮. 40 জন শিক্ষার্থীর প্রতি সপ্তাহে টিফিন খরচের মধ্যমা নির্ণয় করি:

টিফিন খরচ (টাকা)	35-40	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70
শিক্ষার্থী সংখ্যা	3	5	6	9	7	8	2

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকা:

টিফিন খরচ (টাকা)	শিক্ষার্থী সংখ্যা (f)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক)
35–40	3	3
40–45	5	8
45–50	6	14
50–55	9	23
55–60	7	30
60–65	8	38
65–70	2	40 = n

এখানে n = 40 ∴ n2 = 20।
20-এর চেয়ে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 23 রয়েছে (50 – 55) শ্রেণিতে। অতএব মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (50 – 55)।

l = 50, n/2 = 20, cf = 14, f = 9, h = 5

∴ মধ্যমা = l + [ n2 − cff ] × h = 50 + [ 20 − 149 ] × 5 = 50 + 103 = 50 + 3.33 = 53.33 (প্রায়)

উত্তর: টিফিন খরচের মধ্যমা 53.33 টাকা (প্রায়)।

৯. নীচের তথ্য থেকে ছাত্রদের উচ্চতার মধ্যমা নির্ণয় করি:

উচ্চতা (সেমি)	135-140	140-145	145-150	150-155	155-160	160-165	165-170
ছাত্র সংখ্যা	6	10	19	22	20	16	7

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা:

উচ্চতা (সেমি)	ছাত্র সংখ্যা (f)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক)
135–140	6	6
140–145	10	16
145–150	19	35
150–155	22	57
155–160	20	77
160–165	16	93
165–170	7	100 = n

এখানে n = 100 ∴ n2 = 50।
50 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 57 রয়েছে (150 – 155) শ্রেণিতে। সুতরাং মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (150 – 155)।

l = 150, n = 100, cf = 35, f = 22, h = 5

∴ মধ্যমা = 150 + [ 50 − 3522 ] × 5 = 150 + 7522 = 150 + 3.41 = 153.41 (প্রায়)

উত্তর: ছাত্রদের উচ্চতার মধ্যমা 153.41 সেমি (প্রায়)।

১০. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করি:

শ্রেণি-সীমানা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	4	7	10	15	10	8	5

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকা:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক)
0 – 10	4	4
10 – 20	7	11
20 – 30	10	21
30 – 40	15	36
40 – 50	10	46
50 – 60	8	54
60 – 70	5	59 = n

যেহেতু n = 59, ∴ n2 = 29.5।
29.5 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 36। অতএব মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (30 – 40)।

l = 30, n = 59, cf = 21, f = 15, h = 10

∴ মধ্যমা = 30 + [ 29.5 − 2115 ] × 10 = 30 + [ 8.515 × 10 ] = 30 + 5.67 (প্রায়) = 35.67 (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা 35.67 (প্রায়)।

১১. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

শ্রেণি-সীমানা	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
পরিসংখ্যা	5	6	15	10	5	4	3	2

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
5 – 10	5	5
10 – 15	6	11
15 – 20	15	26
20 – 25	10	36
25 – 30	5	41
30 – 35	4	45
35 – 40	3	48
40 – 45	2	50 = n

যেহেতু n = 50, ∴ n2 = 25।
25 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 26। সুতরাং মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (15 – 20)।

l = 15, n = 50, cf = 11, f = 15, h = 5

∴ মধ্যমা = 15 + [ 25 − 1115 ] × 5 = 15 + [ 1415 × 5 ] = 15 + 4.67 (প্রায়) = 19.67 (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা 19.67 (প্রায়)।

১২. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি (শ্রেণি-সীমা অন্তর্ভুক্ত পদ্ধতিতে দেওয়া):

শ্রেণি-সীমা	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35
পরিসংখ্যা	2	3	6	7	5	4	3

শ্রেণি-সীমানা রূপান্তর ও ক্রমযৌগিক তালিকা:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0.5 – 5.5	2	2
5.5 – 10.5	3	5
10.5 – 15.5	6	11
15.5 – 20.5	7	18
20.5 – 25.5	5	23
25.5 – 30.5	4	27
30.5 – 35.5	3	30 = n

যেহেতু n = 30, ∴ n2 = 15।
15 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 18। অতএব মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (15.5 – 20.5)।

l = 15.5, n = 30, cf = 11, f = 7, h = 5

∴ মধ্যমা = 15.5 + [ 15 − 117 ] × 5 = 15.5 + 207 = 15.5 + 2.86 (প্রায়) = 18.36 (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা 18.36 (প্রায়)।

১৩. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

শ্রেণি-সীমা	51-60	61-70	71-80	81-90	91-100	101-110
পরিসংখ্যা	4	10	15	20	15	4

শ্রেণি-সীমানা রূপান্তর ও ক্রমযৌগিক তালিকা:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
50.5 – 60.5	4	4
60.5 – 70.5	10	14
70.5 – 80.5	15	29
80.5 – 90.5	20	49
90.5 – 100.5	15	64
100.5 – 110.5	4	68 = n

যেহেতু n = 68, ∴ n2 = 34।
34 এর থেকে ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 49। অতএব মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (80.5 – 90.5)।

l = 80.5, n = 68, cf = 29, f = 20, h = 10

∴ মধ্যমা = 80.5 + [ 34 − 2920 ] × 10 = 80.5 + 2.5 = 83

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা 83।

১৪. নীচের ক্রমযৌগিক তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

নম্বর	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম	90-এর কম
ছাত্রীদের সংখ্যা	12	22	40	60	72	87	102	111	120

পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা:

নম্বর শ্রেণি	পরিসংখ্যা (fi)	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0 – 10	12	12
10 – 20	22 − 12 = 10	22
20 – 30	40 − 22 = 18	40
30 – 40	60 − 40 = 20	60
40 – 50	72 − 60 = 12	72
50 – 60	87 − 72 = 15	87
60 – 70	102 − 87 = 15	102
70 – 80	111 − 102 = 9	111
80 – 90	120 − 111 = 9	120 = n

যেহেতু n = 120, ∴ n2 = 60।
60 এর সমান বা ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিবেচনা করে মধ্যমা শ্রেণিটি নেওয়া হলো (40 – 50)।

l = 40, n/2 = 60, cf = 60, f = 12, h = 10

∴ মধ্যমা = 40 + [ 60 − 6012 ] × 10 = 40 + [ 012 × 10 ] = 40

উত্তর: প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 40।

১৫. নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি যখন মোট পরিসংখ্যার সমষ্টি 100:

শ্রেণি-সীমানা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকা:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0 – 10	10	10
10 – 20	x	10 + x
20 – 30	25	35 + x
30 – 40	30	65 + x
40 – 50	y	65 + x + y
50 – 60	10	75 + x + y = n

এখানে n = 100 (প্রদত্ত)।

শর্তানুসারে,
75 + x + y = 100
বা, x + y = 25 ..... (i)

যেহেতু মধ্যমা = 32, যা (30 – 40) শ্রেণির অন্তর্গত, সুতরাং মধ্যমা শ্রেণিটি হলো (30 – 40)।

l = 30, n = 100, cf = 35 + x, f = 30, h = 10

∴ মধ্যমা = l + [ n2 − cff ] × h

বা, 32 = 30 + [ 50 − (35 + x)30 ] × 10

বা, 32 − 30 = 15 − x3

বা, 2 = 15 − x3

বা, 15 − x = 6
বা, −x = 6 − 15 = −9
বা, x = 9

এখন, (i) নং সমীকরণে x = 9 বসিয়ে পাই:
9 + y = 25
বা, y = 25 − 9
বা, y = 16

উত্তর: নির্ণেয় মান, x = 9 এবং y = 16।