মাধ্যমিক গণিত কষে দেখি 26.1 রাশিবিজ্ঞান যৌগিক গড় madhyamik rasivigyan kose dekhi 26.1

26	রাশিবিজ্ঞান: গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.1

1. আমি আমার 40 জন বন্ধুর বয়স নীচের ছকে লিখেছি,

বয়স (বছর)	15	16	17	18	19	20
বন্ধুর সংখ্যা	4	7	10	10	5	4

আমি আমার বন্ধুদের গড় বয়স প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নির্ণয় করি।

বয়স (বছর) (xi)	বন্ধুর সংখ্যা (পরিসংখ্যা fi)	xi fi
15	4	60
16	7	112
17	10	170
18	10	180
19	5	95
20	4	80
মোট	Σfi = 40	Σxifi = 697

∴ আমার বন্ধুদের গড় বয়স = Σx_if_iΣf_i = 69740 বছর = 17.425 বছর = 17.43 বছর (প্রায়)

2. গ্রামের 50 টি পরিবারের সদস্য সংখ্যা নীচের তালিকায় লিখেছি।

সদস্য সংখ্যা	2	3	4	5	6	7
পরিবারের সংখ্যা	6	8	14	15	4	3

ওই 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা কল্পিত গড় পদ্ধতিতে লিখি।

ধরি, কল্পিত গড় (a) = 4

সদস্য সংখ্যা (xi)	পরিবারের সংখ্যা (পরিসংখ্যা fi)	di = xi − 4	di fi
2	6	−2	−12
3	8	−1	−8
4 = a	14	0	0
5	15	1	15
6	4	2	8
7	3	3	9
মোট	Σfi = 50		Σdifi = 12

∴ পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা = a + Σd_if_iΣf_i = 4 + 1250 = 4 + 0.24 = 4.24

3. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 20.6 হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করিঃ

চল (xi)	10	15	a	25	35
পরিসংখ্যা (fi)	3	10	25	7	5

চল (xi)	পরিসংখ্যা (fi)	xi fi
10	3	30
15	10	150
a	25	25a
25	7	175
35	5	175
মোট	Σfi = 50	Σxifi = 530 + 25a

∴ প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় = Σx_if_iΣf_i = 530 + 25a50

শর্তানুসারে,
530 + 25a50 = 20.6
বা, 530 + 25a = 50 × 20.6
বা, 530 + 25a = 1030
বা, 25a = 1030 − 530
বা, 25a = 500
∴ a = 50025 = 20

4. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 15 হয়, তবে p এর মান হিসাব করে লিখিঃ

চল	5	10	15	20	25
পরিসংখ্যা	6	p	6	10	5

চল (xi)	পরিসংখ্যা (fi)	xi fi
5	6	30
10	p	10p
15	6	90
20	10	200
25	5	125
মোট	Σfi = 27 + p	Σxifi = 445 + 10p

∴ প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় = Σx_if_iΣf_i = 445 + 10p27 + p

শর্তানুসারে,
445 + 10p27 + p = 15
বা, 15(27 + p) = 445 + 10p
বা, 405 + 15p = 445 + 10p
বা, 15p − 10p = 445 − 405
বা, 5p = 40
∴ p = 405 = 8

5. রহমতচাচা তার 50 টি বাক্সে বিভিন্ন সংখ্যায় আম ভরে পাইকারি বাজারে নিয়ে যাবেন। কতগুলি বাক্সে কতগুলি আম রাখলেন তার তথ্য নীচের ছকে লিখলাম।

আমের সংখ্যা	50 − 52	52 − 54	54 − 56	56 − 58	58 − 60
বাক্সের সংখ্যা	6	14	16	9	5

আমি ওই 50 টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা হিসাব করে লিখি (যে কোনো পদ্ধতিতে)

ধরি, কল্পিত গড় (a) = 55

আমের সংখ্যা	বাক্সের সংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	di = xi − 55	di fi
50 − 52	6	51	−4	−24
52 − 54	14	53	−2	−28
54 − 56	16	55 = a	0	0
56 − 58	9	57	2	18
58 − 60	5	59	4	20
মোট	Σfi = 50			Σdifi = −14

∴ গড় আমের সংখ্যা = a + Σd_if_iΣf_i = 55 + −1450 = 55 − 0.28 = 54.72

6. মহিদুল পাড়ার হাসপাতালের 100 জন রোগীর বয়স নীচের ছকে লিখল। ওই 100 জন রোগীর গড় বয়স হিসাব করে লিখি।(যে কোনো পদ্ধতিতে)

বয়স (বছরে)	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
রোগীর সংখ্যা	12	8	22	20	18	20

ধরি, কল্পিত গড় (a) = 35

বয়স (বছরে)	রোগীর সংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	di = xi − 35	di fi
10 − 20	12	15	−20	−240
20 − 30	8	25	−10	−80
30 − 40	22	35 = a	0	0
40 − 50	20	45	10	200
50 − 60	18	55	20	360
60 − 70	20	65	30	600
মোট	Σfi = 100			Σdifi = 840

∴ রোগীর গড় বয়স = ( 35 + 840100 ) বছর = (35 + 8.4) বছর = 43.4 বছর

7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i)

শ্রেণি-সীমানা	0 − 10	10 − 20	20 − 30	30 − 40	40 − 50
পরিসংখ্যা	4	6	10	6	4

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	xi fi
0 − 10	4	5	20
10 − 20	6	15	90
20 − 30	10	25	250
30 − 40	6	35	210
40 − 50	4	45	180
মোট	Σfi = 30		Σxifi = 750

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = Σx_if_iΣf_i = 75030 = 25

---

(ii)

শ্রেণি-সীমানা	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	10	16	20	30	13	11

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	xi fi
10 − 20	10	15	150
20 − 30	16	25	400
30 − 40	20	35	700
40 − 50	30	45	1350
50 − 60	13	55	715
60 − 70	11	65	715
মোট	Σfi = 100		Σxifi = 4030

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = Σx_if_iΣf_i = 4030100 = 40.3

8. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i)

শ্রেণি-সীমানা	0 − 40	40 − 80	80 − 120	120 − 160	160 − 200
পরিসংখ্যা	12	20	25	20	13

ধরি, কল্পিত গড় (a) = 100

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	di = xi − 100	di fi
0 − 40	12	20	−80	−960
40 − 80	20	60	−40	−800
80 − 120	25	100 = a	0	0
120 − 160	20	140	40	800
160 − 200	13	180	80	1040
মোট	Σfi = 90			Σdifi = 80

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = 100 + 8090 = 100 + 0.89 = 100.89 (প্রায়)

---

(ii)

শ্রেণি-সীমানা	25 − 35	35 − 45	45 − 55	55 − 65	65 − 75
পরিসংখ্যা	4	10	8	12	6

ধরি, কল্পিত গড় (a) = 50

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	di = xi − 50	di fi
25 − 35	4	30	−20	−80
35 − 45	10	40	−10	−100
45 − 55	8	50 = a	0	0
55 − 65	12	60	10	120
65 − 75	6	70	20	120
মোট	Σfi = 40			Σdifi = 60

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = 50 + 6040 = 50 + 1.5 = 51.5

9. ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i)

শ্রেণি-সীমানা	0 − 30	30 − 60	60 − 90	90 − 120	120 − 150
পরিসংখ্যা	12	15	20	25	8

ধরি, a = 75, h = 30

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	ui = xi − 7530	ui fi
0 − 30	12	15	−2	−24
30 − 60	15	45	−1	−15
60 − 90	20	75 = a	0	0
90 − 120	25	105	1	25
120 − 150	8	135	2	16
মোট	Σfi = 80			Σuifi = 2

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = 75 + 280 × 30 = 75 + 0.75 = 75.75

---

(ii)

শ্রেণি-সীমানা	0 − 14	14 − 28	28 − 42	42 − 56	56 − 70
পরিসংখ্যা	7	21	35	11	16

ধরি, a = 35, h = 14

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	ui = xi − 3514	ui fi
0 − 14	7	7	−2	−14
14 − 28	21	21	−1	−21
28 − 42	35	35 = a	0	0
42 − 56	11	49	1	11
56 − 70	16	63	2	32
মোট	Σfi = 90			Σuifi = 8

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = 35 + 890 × 14 = (35 + 1.24) = 36.24 (প্রায়)

10. যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার নম্বরের যৌগিক গড় 24 হয়, তবে p এর মান নির্ণয় করি।

শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)	0 − 10	10 − 20	20 − 30	30 − 40	40 − 50
ছাত্র সংখ্যা	15	20	35	p	10

ধরি, a = 25, h = 10

শ্রেণি-সীমানা	ছাত্রসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	ui = xi − 2510	ui fi
0 − 10	15	5	−2	−30
10 − 20	20	15	−1	−20
20 − 30	35	25 = a	0	0
30 − 40	p	35	1	p
40 − 50	10	45	2	20
মোট	Σfi = 80 + p			Σuifi = p − 30

শর্তানুসারে,
25 + p − 3080 + p × 10 = 24
বা, p − 3080 + p × 10 = 24 − 25 = −1
বা, 10(p − 30) = −(80 + p)
বা, 10p − 300 = −80 − p
বা, 10p + p = −80 + 300
বা, 11p = 220
∴ p = 22011 = 20

11. আলোচনা সভায় উপস্থিত ব্যক্তিদের বয়সের তালিকা দেখি ও গড় বয়স নির্ণয় করি।

বয়স (বছর)	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59
ব্যক্তির সংখ্যা	10	12	15	6	4	3

ধরি, a = 42, h = 5

বয়স (বছর)	শ্রেণি সীমানা	ব্যক্তির সংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	ui = xi − 425	ui fi
30 − 34	29.5 − 34.5	10	32	−2	−20
35 − 39	34.5 − 39.5	12	37	−1	−12
40 − 44	39.5 − 44.5	15	42 = a	0	0
45 − 49	44.5 − 49.5	6	47	1	6
50 − 54	49.5 − 54.5	4	52	2	8
55 − 59	54.5 − 59.5	3	57	3	9
মোট		Σfi = 50			Σuifi = −9

∴ নির্ণেয় গড় বয়স = ( 42 + −950 × 5 ) বছর = (42 − 0.9) বছর = 41.1 বছর

12. নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

শ্রেণি-সীমা	5 − 14	15 − 24	25 − 34	35 − 44	45 − 54	55 − 64
পরিসংখ্যা	3	6	18	20	10	3

ধরি, a = 29.5, h = 10

শ্রেণি-সীমা	শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	ui = xi − 29.510	ui fi
5 − 14	4.5 − 14.5	3	9.5	−2	−6
15 − 24	14.5 − 24.5	6	19.5	−1	−6
25 − 34	24.5 − 34.5	18	29.5 = a	0	0
35 − 44	34.5 − 44.5	20	39.5	1	20
45 − 54	44.5 − 54.5	10	49.5	2	20
55 − 64	54.5 − 64.5	3	59.5	3	9
মোট		Σfi = 60			Σuifi = 37

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = ( 29.5 + 3760 × 10 ) = (29.5 + 6.17) = 35.67 (প্রায়)

13. ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়ঃ

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম
ছাত্রী সংখ্যা	5	9	17	29	45

ধরি, a = 25, h = 10

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	ছাত্রী সংখ্যা (fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	ui = xi − 2510	ui fi
0 − 10	5	5	−2	−10
10 − 20	9 − 5 = 4	15	−1	−4
20 − 30	17 − 9 = 8	25 = a	0	0
30 − 40	29 − 17 = 12	35	1	12
40 − 50	45 − 29 = 16	45	2	32
মোট	Σfi = 45			Σuifi = 30

∴ নির্ণেয় যৌগিক গড় = 25 + 3045 × 10 = (25 + 6.67) = 31.67 (প্রায়)

14. নীচের তালিকার 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি।

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	1 − 4	4 − 9	9 − 16	16 − 17
ছাত্র	6	12	26	20

ধরি, কল্পিত গড় (a) = 6.5

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	ছাত্র (পরিসংখ্যা fi)	শ্রেণিমধ্যক (xi)	di = xi − 6.5	di fi
1 − 4	6	2.5	−4	−24
4 − 9	12	6.5 = a	0	0
9 − 16	26	12.5	6	156
16 − 17	20	16.5	10	200
মোট	Σfi = 64			Σdifi = 332

∴ ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় = 6.5 + 33264 = (6.5 + 5.19) = 11.69 (প্রায়)