দশম শ্রেণি গণিত (Class 10 Maths)
অধ্যায় ১২ : গোলক (Sphere) – কষে দেখি 12 সম্পূর্ণ সমাধান
১. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 10.5 সেমি.
∴ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
∴ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4 ×
227
× 10.5 × 10.5 বর্গসেমি.
= 4 ×
227
× 10510
× 10510
বর্গসেমি.
= 1386 বর্গসেমি.
উত্তর: গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গসেমি.।
২. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গসেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4 ×
শর্তানুসারে,
∴ বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4 ×
227
× r2 বর্গসেমি.শর্তানুসারে,
17.50 × 4 ×
227
× r2 = 431.20
বা, r2 = 431.20 ×
722
× 117.50 × 4
বা, r2 = 43120 ×
722
× 11750 × 4
বা, r2 = 1.96
∴ r = 1.4
∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × 1.4 সেমি. = 2.8 সেমি.
উত্তর: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি.।
৩. স্কুলে শটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘনসেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
∴ বলটির আয়তন
72
সেমি.∴ বলটির আয়তন
=
43
× 227
× 72
× 72
× 72
ঘনসেমি.
=
5393
ঘনসেমি. = 17923
ঘনসেমি.
উত্তর: বলটিতে 179
23
ঘনসেমি. লোহা আছে।৪. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
∴ নিরেট গোলকের আয়তন
282
সেমি. = 14 সেমি.∴ নিরেট গোলকের আয়তন
=
43
× 227
× 14 × 14 × 14 ঘনসেমি.
=
344963
ঘনসেমি. = 1149823
ঘনসেমি.
উত্তর: নিরেট গোলকটি জলে সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করলে 11498
23
ঘনসেমি. জল অপসারিত করবে।৫. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এর অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
7 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বেলুনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (7)2 বর্গসেমি.
21 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বেলুনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (21)2 বর্গসেমি.
∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
21 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বেলুনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (21)2 বর্গসেমি.
∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 4π × (7)2 : 4π × (21)2
= 49 : 441 = 1 : 9
উত্তর: ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 1 : 9
৬. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 127
27
বর্গসেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।সমাধানঃ
ধরি, বাটির মুখের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 ×
শর্তানুসারে,
∴ অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 ×
227
× r2 বর্গসেমি.শর্তানুসারে,
2 ×
227
× r2 = 12727
বা,
447
× r2 = 8917
বা, r2 =
8917
× 744
= 814
∴ r =
∴ বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × 92
92
সেমি. = 9 সেমি.
উত্তর: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 সেমি.।
৭. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলাটিতে কত ঘনসেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি. =
∴ লোহার গোলার আয়তন
আবার, লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল
2110
সেমি.∴ লোহার গোলার আয়তন
=
43
× 227
× 2110
× 2110
× 2110
ঘনসেমি.
=
388081000
ঘনসেমি. = 38.808 ঘনসেমি.
আবার, লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4 ×
227
× 2110
× 2110
বর্গসেমি.
=
5544100
বর্গসেমি. = 55.44 বর্গসেমি.
উত্তর: গোলাটিতে 38.808 ঘনসেমি. লোহা আছে এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গসেমি.।
৮. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
∴ নিরেট সিসার গোলকের আয়তন =
3.5 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
∴ নির্ণেয় নিরেট গোলকের সংখ্যা
142
সেমি. = 7 সেমি.∴ নিরেট সিসার গোলকের আয়তন =
43
× π × 73 ঘনসেমি.3.5 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
43
× π × (3.5)3 ঘনসেমি.∴ নির্ণেয় নিরেট গোলকের সংখ্যা
= টি
43
× π × 7 × 7 × 743
× π × 3.5 × 3.5 × 3.5
=
7 × 7 × 7 × 10 × 10 × 1035 × 35 × 35
টি = 8 টি
উত্তর: মোট 8 টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে।
৯. 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ বড়ো গোলকটির আয়তন =
3 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
4 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
5 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
শর্তানুসারে,
∴ বড়ো গোলকটির আয়তন =
43
πr3 ঘনসেমি.3 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
43
π × 33 ঘনসেমি.4 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
43
π × 43 ঘনসেমি.5 সেমি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন =
43
π × 53 ঘনসেমি.শর্তানুসারে,
43
π × 33 + 43
π × 43 + 43
π × 53 = 43
π × r3
বা,
43
π (33 + 43 + 53) = 43
π × r3
বা, r3 = 27 + 64 + 125 = 216 = 63
∴ r = 6
উত্তর: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।
১০. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রঙ করতে প্রতি বর্গমিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
গম্বুজটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
∴ অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
∴ প্রতি বর্গমিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজের উপরিতল রঙ করতে খরচ পড়বে:
422
ডেসিমি. = 21 ডেসিমি.∴ অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 ×
227
× 21 × 21 বর্গডেসিমি. = 2772 বর্গডেসিমি.
=
2772100
বর্গমিটার = 27.72 বর্গমিটার
∴ প্রতি বর্গমিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজের উপরিতল রঙ করতে খরচ পড়বে:
= 35 × 27.72 টাকা = 970.2 টাকা = 970 টাকা 20 পয়সা
উত্তর: রঙ করতে মোট 970 টাকা 20 পয়সা খরচ পড়বে।
১১. একটি ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
∴ প্রথম গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
∴ দ্বিতীয় গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (
∴ গোলক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
212
সেমি.∴ প্রথম গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (
212
)2 বর্গসেমি.দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =
17.52
সেমি. = 17520
সেমি.∴ দ্বিতীয় গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π × (
17520
)2 বর্গসেমি.∴ গোলক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 4π ×
212
× 212
: 4π × 17520
× 17520
= 21 × 21 × 20 × 20 : 175 × 175 × 2 × 2 = 36 : 25
উত্তর: গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতু লেগেছে তার অনুপাত 36 : 25।
১২. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, মূল গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ গোলকের আয়তন =
ধরি, অবশিষ্ট নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = R একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR2 বর্গএকক
শর্তানুসারে,
∴ অবশিষ্ট নতুন গোলকের আয়তন
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তন
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তন ও অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত
∴ গোলকের আয়তন =
43
πr3 ঘনএকক এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গএককধরি, অবশিষ্ট নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = R একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR2 বর্গএকক
শর্তানুসারে,
4πR2 =
4πr22
বা, R2 =
r22
⇒ R = r√2
∴ অবশিষ্ট নতুন গোলকের আয়তন
=
43
πR3 = 43
π (r√2
)3 = 43
π × r32√2
= √2πr33
ঘনএকক
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তন
=
43
πr3 − √2πr33
= √2πr33
(2√2 − 1) ঘনএকক
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তন ও অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত
=
√2πr33
(2√2 − 1) : √2πr33
= (2√2 − 1) : 1
উত্তর: কেটে নেওয়া অংশের আয়তন ও অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত (2√2 − 1) : 1।
১৩. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধানঃ
ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ = 14 সেমি.
∴ ভূগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
0.7 সেমি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের মোট ক্ষেত্রফল = 2 × 1.54 বর্গসেমি. = 3.08 বর্গসেমি.
∴ ছিদ্র বাদ দিয়ে ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
∴ ভূগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4 ×
227
× 14 × 14 বর্গসেমি. = 2464 বর্গসেমি.
0.7 সেমি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
=
227
× 0.7 × 0.7 = 227
× 710
× 710
বর্গসেমি. = 1.54 বর্গসেমি.
∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের মোট ক্ষেত্রফল = 2 × 1.54 বর্গসেমি. = 3.08 বর্গসেমি.
∴ ছিদ্র বাদ দিয়ে ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
= (2464 − 3.08) বর্গসেমি. = 2460.92 বর্গসেমি.
উত্তর: ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গসেমি.।
১৪. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন =
1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন =
∴ নির্ণেয় নিরেট গুলির সংখ্যা
43
× π × 83 ঘনসেমি.1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলকের আয়তন =
43
× π × 13 ঘনসেমি.∴ নির্ণেয় নিরেট গুলির সংখ্যা
= টি = 512 টি
43
× π × 8343
× π × 13উত্তর: মোট 512 টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে।
১৫. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন —
ব্যাখ্যাঃ
2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
=
43
× π × (2r)3 ঘনএকক
=
43
× π × 8r3 ঘনএকক = 32πr33
ঘনএকক
উত্তর: (a)
32πr33
ঘনএকক(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1 : 8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত —
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, দুটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r1 একক এবং r2 একক。
শর্তানুসারে,
=
∴ নিরেট গোলক দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
শর্তানুসারে,
43
πr1343
πr2318
বা, (
r1r2
)3 = (12
)3 ⇒ r1r2
= 12
∴ নিরেট গোলক দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
=
4πr124πr22
= (r1r2
)2 = (12
)2 = 14
= 1 : 4
উত্তর: (b) 1 : 4
(iii) 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল —
ব্যাখ্যাঃ
7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3π × (7)2 বর্গসেমি. = 3π × 49 বর্গসেমি. = 147π বর্গসেমি.
উত্তর: (c) 147π বর্গসেমি.
(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত —
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, দুটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r1 একক এবং r2 একক。
শর্তানুসারে,
∴ গোলক দুটির আয়তনের অনুপাত
শর্তানুসারে,
4πr124πr22
= 169
বা, (
r1r2
)2 = (43
)2 ⇒ r1r2
= 43
∴ গোলক দুটির আয়তনের অনুপাত
= = (
43
πr1343
πr23r1r2
)3 = (43
)3 = 6427
= 64 : 27
উত্তর: (a) 64 : 27
(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য —
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক。
শর্তানুসারে,
শর্তানুসারে,
4πr2 = 3 ×
43
πr3
বা, 4πr2 = 4πr3 ⇒ r = 1
উত্তর: (a) 1 একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক
∴ নিরেট গোলকের আয়তন =
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে নতুন ব্যাসার্ধ = 2r একক
এবং নতুন আয়তন হবে =
অর্থাৎ, আয়তন 8 গুণ হবে (দ্বিগুণ নয়)।
∴ নিরেট গোলকের আয়তন =
43
πr3 ঘনএককব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে নতুন ব্যাসার্ধ = 2r একক
এবং নতুন আয়তন হবে =
43
π × (2r)3 = 8 × 43
πr3 ঘনএককঅর্থাৎ, আয়তন 8 গুণ হবে (দ্বিগুণ নয়)।
উত্তর: মিথ্যা
(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2 : 3।
ব্যাখ্যাঃ
ধরি, দুটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r1 একক এবং r2 একক。
শর্তানুসারে,
শর্তানুসারে,
2πr122πr22
= 49
বা, (
r1r2
)2 = (23
)2 ⇒ r1r2
= 23
∴ r1 : r2 = 2 : 3
উত্তর: সত্য
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম _________।
উত্তর: গোলক
(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা _________।
উত্তর: 1 (একটি)
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল _________ πr2 বর্গএকক।
ব্যাখ্যাঃ
নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2r একক
∴ নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
∴ নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3 × π × (2r)2 বর্গএকক = 3 × π × 4r2 = 12πr2 বর্গএকক
উত্তর: 12
১৬. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r একক
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন =
এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr2 বর্গএকক
শর্তানুসারে,
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন =
23
πr3 ঘনএককএবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr2 বর্গএকক
শর্তানুসারে,
23
πr3 = 3πr2
বা,
r3r2
= 3π × 32π
∴ r =
92
= 4.5
উত্তর: অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 একক।
(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি.। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গসেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ =
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2π × 6 × 12 বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গসেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ =
122
সেমি. = 6 সেমি. এবং উচ্চতা = 12 সেমি.∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2π × 6 × 12 বর্গসেমি.
শর্তানুসারে,
4πr2 = 2π × 6 × 12
বা, r2 =
2π × 6 × 124π
= 36
∴ r = 6
উত্তর: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r1 একক এবং গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r2 একক。
∴ অর্ধগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr12 বর্গএকক
এবং গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr22 বর্গএকক
শর্তানুসারে,
∴ অর্ধগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr12 বর্গএকক
এবং গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr22 বর্গএকক
শর্তানুসারে,
3πr12 = 4πr22
বা,
r12r22
= 4π3π
বা, (
r1r2
)2 = (2√3
)2
∴ r1 : r2 = 2 : √3
উত্তর: অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : √3।
(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে,
S3V2
এর মান কত তা লিখি। (π এর মান না বসিয়ে)সমাধানঃ
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক。
∴ S = 4πr2 এবং V =
∴ S = 4πr2 এবং V =
43
πr3
∴
S3V2
= (4πr2)3(
43
πr3)2
=
64π3r6
169
π2r6
=
64π × 916
= 36π
উত্তর:
S3V2
= 36π(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক。
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গএকক
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে
এবং নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গএকক
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে
= (r + r ×
50100
) একক = (r + r2
) একক = 3r2
একক
এবং নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে
= 4π(
3r2
)2 বর্গএকক = 9πr2 বর্গএকক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে
= (9πr2 − 4πr2) বর্গএকক = 5πr2 বর্গএকক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে
=
5πr24πr2
× 100 = 125%
উত্তর: বক্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পায়।
